Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Uma
progressão aritmética é uma
sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à
soma do termo anterior com uma
constante 
. O número
é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de
resto da
subtração
Alguns exemplos de progressão aritmética:
, em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.
, em que 
.
, em que 
.
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,
an = (an − 1 + an + 1) / 2.
[editar] Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética
A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:
an é o enésimo termo (termo geral); a1 é o primeiro termo; n é o número de termos presentes na PA; r é a razão.
[editar] Demonstração
- O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.
- O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:
- O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:
, portanto:
- O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:
, portanto:
- Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:
Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:
[editar] Soma dos termos de uma progressão aritmética
A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles
A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:
A soma dos termos entre
e
é:
Diz a lenda que
Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor
[1].
[editar] Interpolação Aritmética
É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:
Onde:
- un = Último termo da P.A.
- u1 = Primeiro termo da P.A.
- n = Número total de termos da P.A.
- r = Razão da P.A.
[editar] Tipos de progressões aritméticas
[editar] Progressão aritmética constante
Uma
progressão aritmética constante ou
estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão
r tem que ser sempre igual a
zero.
Exemplos de progressão aritmética constante:
- P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
- P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0
[editar] Progressão aritmética crescente
Uma
progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão
r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressão aritmética crescente:
- P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
- P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3
[editar] Progressão aritmética decrescente
Uma
progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão
r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressão aritmética decrescente:
- P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
- P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3
[editar] Progressão aritmética de segunda ordem
Uma
progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progessão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:
- Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)
Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.
PS:o numero da razão cresce de 2 em 2.
[editar] Ver também
Referências
